Question

5．函数f（x）=$\frac{x}{ax+b}$（a，b为常数）满足：点（2，1）在f（x）的图象上，方程f（x）=x有唯一解．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（-2，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

分析 （1）点（2，1）满足函数曲线，方程f（x）=x有唯一解，所以△=0；
（2）利用函数的单调性定义直接证明即可．

解答 解：（1）由已知$\frac{2}{2a+b}$=1，又方程$\frac{x}{ax+b}$=x即ax²+（b-1）x=0有唯一解，
则△=0，b=1，a=$\frac{1}{2}$，$f（x）=\frac{2x}{x+2}$．
（2）$f（x）=\frac{2x}{x+2}=2-\frac{4}{x+2}$在（-2，+∞）上单调递增，
证明如下：
任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，
则$f（{x_2}）-f（{x_1}）=（2-\frac{4}{{{x_2}+2}}）-（2-\frac{4}{{{x_1}+2}}）=-\frac{4}{{{x_2}+2}}+\frac{4}{{{x_1}+2}}=\frac{{4（{x_2}-{x_1}）}}{{（{x_2}+2）（{x_1}+2）}}$
由x₂-x₁＞0，x₂+2＞0，x₁+2＞0得f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
所以f（x）在（-2，+∞）上单调递增．

点评 本题考查了方程与函数零点、函数单调性的定义证明，属基础题．