Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点．
（Ⅰ）求直线BE与平面ABB₁A₁所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F∥平面A₁BE？证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）先取AA₁的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB₁A₁，则EM⊥面ABB₁A₁，从而BM为直线BE在平面ABB₁A₁上的射影，则∠EBM直线BE与平面ABB₁A₁所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，于是在Rt△BEM中，求出此角的正弦值即可．
（II）在棱C₁D₁上存在点F，使B₁F平面A₁BE，分别取C₁D₁和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD₁，FG，因A₁D₁∥B₁C₁∥BC，且A₁D₁=BC，所以四边形A₁BCD₁为平行四边形，根据中位线定理可知EG∥A₁B，从而说明A₁，B，G，E共面，则BG?面A₁BE，根据FG∥C₁C∥B₁G，且FG=C₁C=B₁B，从而得到四边形B₁BGF为平行四边形，则B₁F∥BG，而B₁F?平面A₁BE，BG?平面A₁BE，根据线面平行的判定定理可知B₁F∥平面A₁BE．

解答：解：（I）如图（a），取AA₁的中点M，连接EM，BM，因为E是DD₁的中点，四边形ADD₁A₁为正方形，所以EM∥AD．
又在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．AD⊥平面ABB₁A₁，所以EM⊥面ABB₁A₁，从而BM为直线BE在平面ABB₁A₁上的射影，
∠EBM直线BE与平面ABB₁A₁所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=

22+22+12

=3，
于是在Rt△BEM中，sin∠EBM=

EM

BE

=

2

3

即直线BE与平面ABB₁A₁所成的角的正弦值为

2

3

．

（II）在棱C₁D₁上存在点F，使B₁F平面A₁BE，
事实上，如图（b）所示，分别取C₁D₁和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD₁，FG，
因A₁D₁∥B₁C₁∥BC，且A₁D₁=BC，所以四边形A₁BCD₁为平行四边形，
因此D₁C∥A₁B，又E，G分别为D₁D，CD的中点，所以EG∥D₁C，从而EG∥A₁B，这说明A₁，B，G，E共面，所以BG?A₁BE
因四边形C₁CDD₁与B₁BCC₁皆为正方形，F，G分别为C₁D₁和CD的中点，所以FG∥C₁C∥B₁G，且FG=C₁C=B₁B，因此四边形B₁BGF为平行四边形，所以B₁F∥BG，而B₁F?平面A₁BE，BG?平面A₁BE，故B₁F∥平面A₁BE．

点评：本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力．