【题目】定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称函数的一个上界.已知函数, .
(1)若函数为奇函数,求实数的值;
(2)在第(1)的条件下,求函数在区间上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在上是以3为上界的有界函数,求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2) ;(3) .
【解析】试题分析:
(1)由函数为奇函数可得,即,整理得,可得,解得,经验证不合题意.(2)根据单调性的定义可证明函数在区间上为增函数,从而可得在区间上的值域为,故,从而可得所有上界构成的集合为.(3)将问题转化为在上恒成立,整理得在上恒成立,通过判断函数的单调性求得即可得到结果.
试题解析:
(1)∵函数是奇函数,
∴,即,
∴,
∴,
解得,
当时, ,不合题意,舍去.
∴.
(2)由(1)得,
设,
令,且,
∵ ;
∴在上是减函数,
∴在上是单调递增函数,
∴在区间上是单调递增,
∴,即,
∴在区间上的值域为,
∴,
故函数在区间上的所有上界构成的集合为.
(3)由题意知, 在上恒成立,
∴,
∴,
因此在上恒成立,
∴
设, , ,由知,
设,则
, ,
∴在上单调递减, 在上单调递增,
∴在上的最大值为, 在上的最小值为,
∴.
∴的取值范围.
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【题目】某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?
(2)设一次订购量为个,零件的实际出厂单价为元,写出函数的表达式;
(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元? (工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-单件成本)
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【题目】已知函数(为常函数)是奇函数.
(1)判断函数在上的单调性,并用定义法证明你的结论;
(2)若对于区间上的任意值,使得不等式恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:VB∥平面MOC;
(2)求证:平面MOC⊥平面VAB
(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.
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【题目】已知中心在原点的椭圆C的左焦点F(﹣ ,0),右顶点A(2,0).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)斜率为 的直线l与椭圆C交于A、B两点,求弦长|AB|的最大值及此时l的直线方程.
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【题目】如图动直线l:y=b与抛物线y2=4x交于点A,与椭圆 =1交于抛物线右侧的点B,F为抛物线的焦点,则|AF|+|BF|+|AB|的最大值为( )
A.
B.
C.2
D.
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【题目】已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=2时,求直线l的方程.
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【题目】如图, 是边长为 的正方形, 平面 , , , 与平面 所成角为 .
(Ⅰ)求证: 平面 .
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
(Ⅲ)设点 是线段 上一个动点,试确定点 的位置,使得 平面 ,并证明你的结论.
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