Question

【题目】已知函数.

（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；

（2）当时，函数有零点，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）0.

【解析】试题分析：（1）在上为增函数，等价于在上恒成立，分类讨论，当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以在上恒成立，构造函数，要使在上恒成立，只要即可，从而可求实数的取值范围；（2）当时，方程有实根，等价于在上有解，即求的值域．构造（），证明在上为增函数，在上为减函数，即可得出结论.

试题解析：（1）∵函数在区间上为增函数，

∴在区间上恒成立，

①当时，在上恒成立，

∴在上为增函数，故符合题意.

②当时，由函数的定义域可知对恒成立，

故只能，∴在上恒成立，

令函数，其对称轴为，

∵，∴，要使在上恒成立，只要即可，

即，∴，

∵，∴，综上所述，的取值范围为.

（2）当时，函数有零点等价于方程：

有实根，可化为：

.

等价于在上有解，

即求函数的值域，

∵函数，

令函数，则，

∴当时，，从而函数在上为增函数，

当时，，从而函数在上为减函数，

因此，而，∴，

故当时，取得最大值0.