【题目】如图,在四棱锥中,底面
是长方形,侧棱
底面
,且
,过D作
于F,过F作
交 PC于E.
(Ⅰ)证明:平面PBC;
(Ⅱ)求平面与平面
所成二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ).
【解析】【试题分析】(Ⅰ)依据题设运用直线与平面垂直的判定定理推证; (Ⅱ)依据题设条件运用二面角的平面角的定义求解或运用向量的数量积公式求解:.
解法一:(Ⅰ)因为底面
,所以
,
由底面为长方形,有
,而
,
所以. 而
,所以
. ………………………2分
又因为,
所以平面
. 而
,所以
. ………………………4分
又,
,所以
平面
. ………………………6分
(Ⅱ)如图1,在面内,延长
与
交于点
,则
是平面
与平面
的交线. 由(Ⅰ)知,,所以
. ………………………8分
又因为底面
,所以
. 而
,所以
.
故是面
与面
所成二面角的平面角, ………………………10分
在Rt△PDB中, 由 ,
故面与面
所成二面角的余弦为
. ………………………12分
解法二:如图2, 由,所以
是平面
的一个法向量; ……………………………………8分
由(Ⅰ)知,,所以
是平面
的一个法向量 ……………………………………10分
设平面与平面
所成二面角为
则
,
故面与面
所成二面角的余弦为
. ……………………………………12分
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【题目】对于定义在上的函数
,若存在距离为
的两条直线
和
,使得对任意
都有
恒成立,则称函数
有一个宽度为
的通道,给出下列函数:①
;②
;③
;④
.其中在区间
上通道宽度可以为1的函数的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD,
(1)证明:平面AEC⊥平面BED.
(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.
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【题目】已知函数,函数
.
(1)若的定义域为
,求实数
的取值范围;
(2)当时,求函数
的最小值
;
(3)是否存在非负实数,使得函数
的定义域为
,值域为
,若存在,求出
的值;若不存在,则说明理由.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)若f(1)=0,求函数f(x)的最大值;
(Ⅱ)令,讨论函数g(x)的单调区间;
(Ⅲ)若a=2,正实数x1,x2满足证明
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