Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=S_n+3n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求使不等式-T_n＜成立的最小正整数n的值．

Answer 1

解：（1）∵a₁=1，a_n+1=S_n+3n+1（n∈N^*），①
∴当n≥2时，a_n=S_n-1+3（n-1）+1②
①-②得a_n+1-a_n=a_n+3，即n≥2时，a_n+1=2a_n+3，
又a₂=S₁+4=5=2a₁+3，故对一切正整数n，a_n+1=2a_n+3，
则有a_n+1+3=2（a_n+3），所以数列{a_n+3}是公比为2，首项为a₁+3=4的等比数列，
故a_n+3=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-3（n∈N^*）．
（2）b_n==•=•=（-），
故T_n=b₁+b₂+…+b_n=[（-）+（-）+…+（-）]
=×（-）=-，
故-T_n=＜，即2ⁿ⁺³＞2016，故只要n+3≥11，即n≥8，
故所求的最小正整数n的值为8．
分析：（1）由a_n+1=S_n+3n+1和a_n=S_n-1+3（n-1）+1相减得a_n+1-a_n=a_n+3，即n≥2时，a_n+1=2a_n+3，两边同时加上3，构造一个等比数列{a_n+3}，求出该等比数列的通项公式，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）把（1）求得结果代入b_n=，利用裂项相消法即可求得数列{b_n}的前n项和为T_n，解此不等式-T_n＜即可求得结果．
点评：本题主要考查数列求和的知识点，解答本题的关键是根据a_n=s_n-s_n-1即可求出数列{a_n}的通项公式，还要熟练掌握裂项相消法求和，数列是高考的常考题，需要同学们熟练掌握，属中档题．