Question

11．已知等比数列的前n项和为S_n，且a₁+a₃=$\frac{5}{2}，{a_2}+{a_4}=\frac{5}{4}$，则$\frac{S_n}{a_n}$=2ⁿ-1．

Answer 1

分析 利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁+a₃=$\frac{5}{2}，{a_2}+{a_4}=\frac{5}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}=\frac{5}{2}}\\{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，q=$\frac{1}{2}$，
∴S_n=$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$4（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$，
a_n=2×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
则$\frac{S_n}{a_n}$=2ⁿ-1．
故答案为：2ⁿ-1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．