Question

19．已知函数f（x）=lnx-$\frac{{{{（x-1）}^2}}}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，f（x）＜x-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数f（x）的导数，利用导函数大于0，求解不等式得到函数的单调递增区间；
（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，然后证明当x＞1时，f（x）＜x-1．

解答 （I）解：$f'（x）=\frac{1}{x}-x+1=\frac{{-{x^2}+x+1}}{x}$，x∈（0，+∞）．
由f′（x）＞0得$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\-{x^2}+x+1＞0\end{array}\right.$解得$0＜x＜\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$．
故f（x）的单调递增区间是$（{0，\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}}）$．
（II）证明：令F（x）=f（x）-（x-1），x∈（0，+∞）．
则有$F'（x）=\frac{{1-{x^2}}}{x}$．当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0，
所以F（x）在[1，+∞）上单调递减，
故当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，
即当x＞1时，f（x）＜x-1．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性与对数的关系，不等式的证明的方法，考查分析问题解决问题的能力．