Question

9．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}+{y}^{2}$=1（m＞1）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}-{y}^{2}=1$（n＞0）有公共焦点F₁、F₂，P是它们的一个交点，证明：F₁P⊥F₂P．

Answer 1

分析 由题意可得：m²-1=n²+1=$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$，即m²=n²+2．设|PF₁|=s，|PF₂|=t，假设s＞t．利用椭圆与双曲线的定义可得：s-t=2n，s+t=2m，分别平方相加可得：2s²+2t²=4n²+4m²，于是s²+t²=4n²+4=$（2\sqrt{{n}^{2}+1}）^{2}$，即可证明．

解答 证明：由题意可得：m²-1=n²+1=$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$，即m²=n²+2．
设|PF₁|=s，|PF₂|=t，假设s＞t．
则s-t=2n，s+t=2m，
分别平方相加可得：2s²+2t²=4n²+4m²=8n²+8，
∴s²+t²=4n²+4=$（2\sqrt{{n}^{2}+1}）^{2}$，
即$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}$=$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$，
∴∠F₁PF₂=90°，
∴F₁P⊥F₂P．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．