Question

2．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1，M是PB的中点．
（1）求异面直线AC与PB所成的角的余弦值；
（2）求直线BC与平面ACM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积，求AC与PB所成的角的余弦值，
（2）设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面的ACM的一个法向量，求出法向量，利用空间向量的数量积，直线BC与平面ACM所成角的正弦值．

解答 解：（1）以A为坐标原点，分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），B（0，2，0），M（0，1，$\frac{1}{2}$），
所以$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，2，-1），|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{5}$，
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}$=2，
cos（$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{PB}$）=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
（2）$\overrightarrow{BC}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面的ACM的一个法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=-1，z=2，
所以$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
则cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{\overline{n}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{1+1}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
设直线BC与平面ACM所成的角为α，
则sinα=sin[$\frac{π}{2}$-＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BC}$＞]=cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本小题考查空间中的异面直线所成的角、线面角、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力．