Question

11．已知θ∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），sin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）求sin2θ的值；        
（2）求sin（θ+$\frac{π}{12}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的正弦函数公式和二倍角公式进行解答；
（2）将所求的代数式转化为sin（t+$\frac{π}{3}$）的形式，然后求值．

解答 解：（1）∵sinθcos$\frac{π}{4}$-cosθsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sinθ-cosθ=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴（sinθ-cosθ）²=$\frac{10}{25}$，
∴1-sin2θ=$\frac{2}{5}$，
∴sin2θ=$\frac{3}{5}$．
（2）令θ-$\frac{π}{4}$=t∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴sint=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cost=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin（θ+$\frac{π}{12}$）=sin（t+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{12}$）=sin（t+$\frac{π}{3}$）=sintcos$\frac{π}{3}$+costsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{5}-2\sqrt{15}}{10}$．

点评 本题考查了两角和与差的正弦函数，二倍角公式，属于基础题，熟记公式即可解答．