Question

已知△ABC的两顶点B（-1，0），C（1，0），周长为6
（1）求顶点A的轨迹L的方程；
（2）若关于原点对称的两点M，N在曲线L上，且已知G（-4，0），求

GM

•

GN

的取值范围．

Answer 1

（1）∵△ABC的两顶点B（-1，0），C（1，0），周长为6，∴BC=2，AB+AC=4，
∵4＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，所以椭圆的标准方程是

x2

4

+

y2

3

=1(x≠±2)
（2）M，N关于坐标原点对称，设M(x1 ，y1)，N(-x1，-y1)，

GM

=(x1+4，y1)，

GN

=（-x₁+4，-y₁）；

GM

•

GN

=-

x

21

-

y

21

+16
又

x 21

4

+

y 21

3

=1得

y

21

=3-

3

4

x

21

，∴

GM

•

GN

=-

1

4

 

x

21

+13，

x

21

∈[0，4)，∴

GM

•

GN

∈(12，13]．