Question

【题目】设，为正项数列的前n项和，且.数列满足：，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

Answer 1

【答案】(1) ；(2).

【解析】

（1）n＝1时，解得a1＝1，n≥2时，an﹣an﹣1＝1，由此求出数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而an的通项公式，由已知得{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，从而的通项公式；

（2）利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn．

解：（1）n＝1时，2S1＝2 a1＝a12+a1，

a12﹣a1＝0，解得a1＝0（各项均为正数，舍去）或a1＝1，

n≥2时，

2Sn＝an2+an，

2Sn﹣1＝an﹣12+an﹣1，

2Sn﹣2Sn﹣1＝2an＝an2+an﹣an﹣12﹣an﹣1

an2﹣an﹣12﹣an﹣an﹣1＝0

（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0

∵数列各项均为正，∴an﹣an﹣1＝1，

∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．

∴an＝1+n﹣1＝n．

∵数列{bn}满足b1＝2，bn+1=3bn+2（n≥2，n∈N *），

∴

∴{}是首项为3，公比为的等比数列，

∴．

（2）由（1）可知：cn＝anbn＝n，

∴Tn＝3+23，①

3Tn，②

①﹣②，得：3

∴．