Question

已知函数f(x)=cosx，x∈(

π

2

，3π)，若方程f（x）=a有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则a的值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．-

  1

  2

• D．-

  3

  2

Answer 1

分析：作出函数y=cosx的图象和直线y=a，得两个图象在（

π

2

，3π）上有三个交点A、B、C，满足A、B关于x=π对称且B、C关于x=2π对称，结合三个根从小到大依次成等比数列列出横坐标x₁、x₂、x₃的方程组，解之可得x₂的值，从而得出实数a的值．

解答：解：同一坐标系中作出y=cosx和y=a的图象，
设两个图象在（

π

2

，3π）上有三个交点A、B、C，则A、B、C的横坐标分别对应方程f（x）=a的三个根，
得A（x₁，a），B（x₂，a），A（x₃，a），
根据余弦函数图象的对称性，得

x1+x2

2

=π，得x₁+x₂=2π
且

x2+x3

2

=2π，x₂+x₃=4π
∵三个根从小到大依次成等比数列，即x₂²=x₁x₃，
∴

x

2 2

=(2π-x2)(4π-x2)，解之得x2=

4π

3

，
因此x1=

2π

3

，x2=

4π

3

，x3=

8π

3

，所以a=cos

2π

3

=-

1

2

．
故选C．

点评：本题主要考查余弦函数的对称性和等比数列的综合应用，综合性较强．