Question

16．如果有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m为正整数）满足条件a₁=a_m，a₂=a_m-1，…，a_m=a₁，即a_i=a_m-i+1（i=1，2，…，m），我们称其为“对称数列”． 例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”． 设{d_n}是100项的“对称数列”，其中d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首项为2，公差为3的等差数列．则d₂=146；数列{d_n}的前n项和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{301}{2}n，}&{1≤n≤50}\\{\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{299}{2}n+7500，}&{51≤n≤100}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 通过d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首项为2、公差为3的等差数列可求该数列d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀的通项，利用对称数列的特点、结合等差数列的特点，即可求数列的和．

解答 解：∵d₅₁=2，d₁₀₀=2+3×（50-1）=149，
∴d₁，d₂，d₅₀是首项为149，公差为-3的等差数列，
∴d₂=d₁-3=149-3=146，
当n≤50时，S_n=d₁+d₂+…+d_n
=149n-3•$\frac{n（n-1）}{2}$
=-$\frac{3}{2}{n}^{2}$+$\frac{301}{2}n$；
当51≤n≤100时，S_n=d₁+d₂+…+d_n
=S₅₀+（d₅₁+d₅₂+…+d_n）
=3775+2•（n-50）+3•$\frac{（n-50）（n-51）}{2}$
=$\frac{3}{2}{n}^{2}$-$\frac{299}{2}n$+7500；
综上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{301}{2}n，}&{1≤n≤50}\\{\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{299}{2}n+7500，}&{51≤n≤100}\end{array}\right.$，
故答案为：146，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{301}{2}n，}&{1≤n≤50}\\{\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{299}{2}n+7500，}&{51≤n≤100}\end{array}\right.$．

点评 本题以新定义对称数列为切入点，运用的知识都是数列的基本知识：等差数列的通项及求和公式，等比数列的通项及求和公式，体现了分类讨论在解题中的应用．注意解题方法的积累，属于中档题．