Question

5．已知cosα=$\frac{3}{5}，cos（α-β）=\frac{12}{13}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，
（1）求tan2α的值；       
（2）求cosβ．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα和tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α-β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ=cos[α-（α-β）]的值．

解答 解：（1）∵cosα=$\frac{3}{5}，cos（α-β）=\frac{12}{13}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{4}{3}$，∴tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=$\frac{24}{7}$．
（2）∵cos （α-β）=$\frac{12}{13}$，0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，∴sin（α-β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=$\frac{5}{13}$，
cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$+$\frac{4}{5}×\frac{5}{13}$=$\frac{56}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式、两角差的余弦公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．