Question

14．如图，直线x=a，x=a+1（a＞0），y=x²及x轴围成的曲线梯形面积介于相应小矩形与大矩形面积之间，即a²＜${∫}_{a}^{a+1}$x²dx＜（a+1）²．类比之，?n∈N^*，$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＜A＜$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n-1}$恒成立，求实数A等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． ln2
• D． ln$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 令A=A₁+A₂+A₃+…+A_n，根据定积分的定义得到：A₁=-lnn+ln（n+1），同理求出A₂，A₃，…，A_n的值，相加求出即可．

解答 解：令A=A₁+A₂+A₃+…+A_n，
由题意得：$\frac{1}{n+1}$＜A₁＜$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n+2}$＜A₂＜$\frac{1}{n+1}$，$\frac{1}{n+3}$＜A₃＜$\frac{1}{n+2}$，…，$\frac{1}{2n}$＜A_n＜$\frac{1}{2n-1}$，
∴A₁=${∫}_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}$$\frac{1}{x}$dx=lnx${|}_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}}$=ln$\frac{1}{n}$-ln$\frac{1}{n+1}$=-lnn+ln（n+1），
同理：A₂=-ln（n+1）+ln（n+2），A₃=-ln（n+2）+ln（n+3），…，A_n=-ln（2n-1）+ln2n，
∴A=A₁+A₂+A₃+…+A_n
=-lnn+ln（n+1）-ln（n+1）+ln（n+2）-ln（n+2）+ln（n+3）-…-ln（2n-1）+ln2n
=ln2n-lnn
=ln2，
故选：C

点评 本题考察了定积分的简单应用，根据定积分的定义得到A₁，A₂，A₃，…，A_n的值是解题的关键，本题是一道中档题．