Question

【题目】若定义在上的函数满足：对任意的，当时，都有，则称是“非減函数”.

（1）若是“非減函数”，求的取值范围；

（2）若为周期函数，且为“非减函数”，证明是常值函数；

（3）设恒大于零，是定义在R上、恒大于零的周期函数，是的最大值。函数。证明：“是周期函数”的充要条件“是常值函数”.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）直接由求得的取值范围；

（2）用反正法证明，如果函数不是常函数，即函数可能是单调递增函数、或者部分单调递增部分常值。利用函数的周期性和不递减的性质，即可证明结论与假设矛盾，即假设不成立，是常值函数。

（3）首先证明充分性，是很显然的，的周期性与一样。然后再证明必要性，利用（2）的结论即可得证。

（1）由得，

，得。

故的取值范围是

（2）假设不是常值函数，并且周期为。令，且存在一个使得。由于的性质可知，，且。

因为为周期函数，所以，这与前面的结论矛盾，所以假设不成立，即是常值函数

（3）充分性证明：当是常值函数时，令，即，因为是周期函数，所以也是周期函数。

必要性证明：当是周期函数时，令周期为，即，则，又因为是周期函数，所以，即可得到，所以是周期函数，由（2）的结论可知，是常值函数。

综上所述，是周期函数的充要条件是是常值函数。