Question

设函数ht(x)=3tx-2t

3

2

，若有且仅有一个正实数x₀，使得h₄（x₀）≥h_t（x₀）对任意的正实数t成立，则x₀=

 

．

Answer 1

分析：有且仅有一个正实数x₀，使得h₄（x₀）≥h_t（x₀）对任意的正实数t成立?有且仅有一个正实数x₀，使得g（t）_min≥0．利用导数即可取得g（t）的最小值，解出即可．

解答：解：由h₄（x₀）≥h_t（x₀）化为12x0-16≥3tx0-2t

3

2

，即2t

3

2

-3tx0+12x0-16≥0．
令g（t）=2t

3

2

-3tx0+12x0-16．
有且仅有一个正实数x₀，使得h₄（x₀）≥h_t（x₀）对任意的正实数t成立?有且仅有一个正实数x₀，使得g（t）_min≥0．
由g′(t)=3

t

-3x0=3(

t

-x0)，令g^′（t）=0，解得t=

x

2 0

．
由g^′（t）＞0，解得t＞

x

2 0

；由g^′（t）＜0，解得0＜t＜

x

2 0

．
∴g（t）在(0，

x

2 0

)上单调递减；在(

x

2 0

，+∞)上单调递增．
因此g（t）在t=

x

2 0

取得极小值，也即最小值．
∴g(t)min=g(

x

2 0

)=-

x

3 0

+12x0-16．
由-

x

3 0

+12x0-16≥0，化为(x0-2)2(x0+4)≤0，
∵x₀＞0，∴当且仅当x₀=2时上式成立．
故答案为2．

点评：把问题正确转化和掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．