Question

（2009•崇明县一模）设函数f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，f(

C

2

)=-

1

4

，且C为锐角，S△ABC=5

3

，a=4，求c边的长．

Answer 1

分析：（1）先根据两角和的余弦公式以及二倍角公式对函数解析式进行整理得到f（x）=

1

2

-

3

2

sin2x；再结合正弦函数的最值以及周期的求法即可得到结论；
（2）先根据条件求出sinC=

3

2

，再结合C为锐角，得到cosC=

1

2

；最后根据三角形的面积公式求出b；再代入余弦定理即可求出c边的长．

解答：解：（1）f(x)=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x
所以T=

2π

ω

=π；
当x=kπ-

π

4

(k∈Z)时，fmax(x)=

1

2

+

3

2

．
（2）由f(

C

2

)=-

1

4

得，

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

；
所以sinC=

3

2

，C为锐角，故cosC=

1

2

；
S△=

1

2

absinC，a=4，所以b=5
所以：c²=a²+b²-2abcosC
=21
故c=

21

．

点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法以及二倍角的余弦和余弦定理的应用．解决这类问题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用．