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设函数ht(x)=3tx-2t
3
2
,若有且仅有一个正实数x0,使得h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立,则x0=(  )
分析:构造函数g(t)=3tx0-2t
3
2
,则g′(t)=3x0-3t
1
2
,分析可得g(
x
2
0
)即为函数g(t)=3tx0-2t
3
2
的最大值,则可将已知化为
x
2
0
=7.
解答:解:令g(t)=3tx0-2t
3
2
-(21x0-2
73
),则g′(t)=3x0-3t
1
2

令g′(t)=0,则t=
x
2
0
,由此得t<
x
2
0
,g′(t)>0,t>
x
2
0
,g′(t)<0,
可得g(
x
2
0
)即为函数g(t)=3tx0-2t
3
2
的最大值,
若有且仅有一个正实数x0,使得h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立,
则g(7)为函数g(t)的最大值,且7是函数g(t)的唯一最大值
x
2
0
=7
又∵x0为正实数,
故x0=
7

故选D
点评:本题考查的知识点是函数恒成立问题,其中构造以t为自变量的新函数,并分析函数的单调性,进而将已知转化为
x
2
0
=7是解答的关键.
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1
3
x3+
1
2
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16
3
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10
3
10
3

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3
2
,若有且仅有一个正实数x0,使得h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立,则x0=(  )
A.5B.
5
C.3D.
7

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