Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA（x∈R）在x=

5π

12

处取得最大值．
（1）当x∈(0，

π

2

)时，求函数f（x）的值域；
（2）若a=7且sinB+sinC=

13 3

14

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x+A），由于函数在x=

5π

12

处取得最大值．令2×

5π

12

-A=2kπ+

π

2

，其中k∈z，解得A的值，
（1）由于A为三角形内角，可得A的值，再由x的范围可得函数的值域；
（2）由正弦定理求得b+c=13，再由余弦定理求得bc的值，由△ABC的面积等于

1

2

bcsinA，算出即可．

解答：解：∵函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA
=2cosxsinxcosA-2cosxcosxsinA+sinA
=sin2xcosA-cos2xsinA=sin（2x-A）
又∵函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA（x∈R）在x=

5π

12

处取得最大值．
∴2×

5π

12

-A=2kπ+

π

2

，其中k∈z，
即A=

π

3

-2kπ，其中k∈z，
（1）∵A∈（0，π），∴A=

π

3

∵x∈(0，

π

2

)，∴2x-A∈(-

π

3

，

2π

3

)
∴-

3

2

＜sin(2x-A)≤1，即函数f（x）的值域为：(-

3

2

，1]
（2）由正弦定理得到

a

sinA

=

b+c

sinB+sinC

，则sinB+sinC=

b+c

a

sinA，
即

13 3

14

=

b+c

7

×

3

2

，∴b+c=13
由余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA
即49=169-3bc，∴bc=40
故△ABC的面积为：S=

1

2

bcsinA=

1

2

×40×

3

2

=10

3

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题．