Question

【题目】已知离心率为的椭圆，与直线交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为.

(1)求椭圆方程;

(2)若，则三角形的面积是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）是定值且为，详见解析.

【解析】

（1）根据题设可得关于的方程组，解出后可得椭圆的标准方程.

（2）当直线的斜率存在时，设其方程为,联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简可得可得，再利用韦达定理把面积表示成关于的代数式，利用前者化简可得面积为定值.注意斜率不存在时的讨论.

(1)由题意可知，解得，

所以椭圆方程为.

(2)设，

当直线的斜率存在时，设其方程为,

联立椭圆方程得，

则，

点到直线的距离，

所以，

由，

化简得，

整理得到，入上式得.

若直线斜率不存在易算得.

综上得，三角形的面积是定值.