Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，PA⊥底面ABCD，E为PB中点，PA=a．
（1）若a=2，求证：AE⊥PC；
（2）若∠PDC=

2π

3

，求四棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得AE⊥PB，PA⊥BC，从而BC⊥平面PAB，进而BC⊥PE，由此能证明AE⊥平面PBC，从而昨到AE⊥PC．
（2）由已知条件利用余弦定理得a=

2

．从而E到平面ABCD的距离h=

1

2

PA=

2

2

，由此能求出四棱锥E-ABCD的体积．

解答： （1）证明：∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB=2BC=2CD=2，
PA⊥底面ABCD，E为PB中点，PA=a=2，
∴AE⊥PB，PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PE，
∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC，
∴AE⊥PC．
（2）解：由已知得AD=

1+1

=

2

，AC=

4+1

=

5

，
∴PD=

a2+2

，PC=

a2+5

，DC=1，
∵∠PDC=

2π

3

，
∴cos

2π

3

=

PD2+DC2-PC2

2PD•PC

=

-1

2+a2

=-

1

2

，
解得a=

2

．
故E到平面ABCD的距离h=

1

2

PA=

2

2

，
∴四棱锥E-ABCD的体积：
V=

1

3

×h×S梯形ABCD=

1

3

×

2

2

×(1+2)×1×

1

2

=

2

4

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．