Question

若函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）＜

1

2

，则f（x）＜

x

2

+

1

2

的解集为（　　）

• A、（-1，1）
• B、（-∞，-1）
• C、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：构造函数g（x）=f（x）-

x

2

-

1

2

，求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系即可得到结论．

解答： 解：设g（x）=f（x）-

x

2

-

1

2

，则g（x）=f′（x）-

1

2

，
∵f′（x）＜

1

2

，
∴g（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
则函数f（x）单调递减，
∵f（1）=1，
∴g（1）=f（1）-

1

2

-

1

2

=1-1=0，
则不等式f（x）＜

x

2

+

1

2

等价为f（x）-

x

2

-

1

2

＜0，
即g（x）＜g（1），
则x＞1，
故选：D

点评：本题主要考查不等式的求解，构造函数，利用导数和单调性之间的关系是解决本题的关键．