Question

已知方程x³-

2

9

x²+6x-a=0有且只有一个实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：将问题转化为f（x）=F（x）-a=0有且仅有一个实数根时，则表示直线y=a与F（x）仅有一个交点，通过求导得到F（x）的图象，从而得到答案．

解答： 解：设F（x）=x³-

9

2

x²+6x，
∴F（x）'=3x²-9x+6=3（x²-3x+2）=3（x-1）（x-2），
令F（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令F（x）＜0，解得：1＜x＜2，
即F（x）在（-∞，1）为增函数，F（x）_极大=F（1）=

5

2

，
F（x）在（1，2）为减函数，F（x）_极小=F（2）=2，
F（x）在（2，+∞）为增函数，x→+∞，F（x）→+∞，
f（x）=F（x）-a=0有且仅有一个实数根时，则表示直线y=a与F（x）仅有一个交点，
画出函数F（x）的图象，如图示：


∴当a＞

5

2

或a＜2时，F（x）-a=0有且仅有一个实数根．

点评：本题考查了根的存在性问题，考查了转化思想，考查了函数的极值问题，是一道中档题．