Question

已知递增数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*）且a₁+a₂+a₃=18，a₁a₂a₃=192．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=m^a_n（m为常数，m＞0且m≠1），求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，若c_n=b_n•lgb_n且{c_n}的每一项都小于它的后一项，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

a1+a3=12 a1a3=32

，解得a₁=4，a₃=8，由此能求出a_n=2n+2．
（2）由bn=m2n+2，能求出数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）由已知当n≥1时，（2n+2）lgm＜m²（2n+4）lgm，由此能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）由已知为等差数列，a₁+a₂+a₃=18，
得a₂=6，又a₁a₂a₃=192，
∴

a1+a3=12 a1a3=32

，又d＞0，解得a₁=4，a₃=8
∴a_n=2n+2
（2）∵b_n=m^a_n（m为常数，m＞0且m≠1），
∴bn=m2n+2，
∴Tn=

m4(1-m2n)

1-m2

（3）由已知当n≥1时，c_n＜c_n+1，
即（2n+2）lgm＜m²（2n+4）lgm
当m＞1时，m2＞

n+1

n+2

恒成立，即m＞1
当0＜m＜1，m2＜

n+1

n+2

，即0＜m＜

6

3

综上所述，0＜m＜

6

3

或m＞1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．