Question

已知二次函数f（x）满足：①在x=1时有极值；②图象过点（0，-3）且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=f（x+1）的单调递增区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c，求导函数，利用极值、导数的几何意义，建立方程组，求出a，b，c，即可求f（x）的解析式；
（2）求出函数g（x）=f（x+1）的解析式，利用导数大于0，可求函数的单调递增区间．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
则f'（x）=2ax+b．
由题设可得

f′(1)=0 f′(0)=-2 f(0)=-3

即

2a+b=0 b=-2 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3.

，
所以f（x）=x²-2x-3；
（2）g（x）=f（x+1）=（x+1）²-2（x+1）-3=x²-4．
令g'（x）=2x＞0，得x＞0．
故g（x）的单调递增区间为（0，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确求导是关键．