Question

已知函数f（x）=ln

1+x

1-x

+sinx，则关于a的不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0的解集是

 

．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知中的函数解析式，先分析函数的单调性和奇偶性，进而根据函数的性质及定义域，可将不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0化为-1＜a²-4＜-a+2＜1，解不等式组可得答案

解答： 解：函数f（x）=ln

1+x

1-x

+sinx的定义域为（-1，1）
且f（-x）=ln

1-x

1+x

+sin（-x）=-（ln

1+x

1-x

+sinx）=-f（x）
故函数f（x）为奇函数
又∵f（x）=ln

1+x

1-x

+sinx=ln（1+x）-ln（1-x）+sinx
且在区间（-1，1）上y=ln（1+x）和y=sinx为增函数，y=ln（1-x）为减函数
∴函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数，
则不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0可化为：
f（a²-4）＜-f（a-2），
即f（a²-4）＜f（-a+2），
即-1＜a²-4＜-a+2＜1
解得

3

＜a＜2
故不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0的解集是（

3

，2）
故答案为：（

3

，2）

点评：本题考查的知识点是函数的单调性和奇偶性的性质，解不等式，是函数图象和性质与不等式的综合应用，难度较大．