Question

已知函数f(x)＝e^2x－ax(a∈R，e为自然对数的底数)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若a＝1，函数g(x)＝(x－m)f(x)－e^2x＋x²＋x在区间(0，＋∞)上为增函数，求整数m的最大值．

Answer 1

解：(1)定义域为(－∞，＋∞), f ′(x)＝e^2x－a，

当a≤0时，f ′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；

当a>0时，由f ′(x)＝0得x＝，且当x∈时， f ′(x)<0，

当x∈时f ′(x)>0，

所以f(x)在为减函数，在为增函数．

(2)当a＝1时，g(x)＝(x－m) －e^2x＋x²＋x，

若g(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，

则g′(x)＝(x－m)(e^2x－1)＋x＋1≥0在(0，＋∞)恒成立，

即m≤＋x在(0，＋∞)恒成立．

令h(x)＝＋x，x∈(0，＋∞)；

h′(x)＝，x∈(0，＋∞)；

令L(x)＝e^2x－2x－3，

可知L＝e－4<0，L(1)＝e²－5>0，

又当x∈(0，＋∞)时L′(x)＝2e^2x－2>0，

所以函数L(x)＝e^2x－2x－3在x∈(0，＋∞)只有一个零点，

设为α，即e^2α＝2α＋3，且α∈；

由上可知当x∈(0，α)时L(x)<0，即h′(x)<0；

当x∈(α，＋∞)时L(x)>0，即h′(x)>0，

所以h(x)＝＋x，x∈(0，＋∞)，有最小值h(α)＝＋α，

把e^2α＝2α＋3代入上式可得h(α)＝＋α，又因为α∈，所以h(α)∈，

又m≤h(x)恒成立，所以m≤h(α)，又因为m为整数，

所以m≤1，所以整数m的最大值为1.