Question

已知函数f(x)＝＋ln x在[1，＋∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，g(x)＝tx－－ln x，t∈R.

(1)求θ的值；

(2)当t＝0时，求函数g(x)的单调区间和极大值；

(3)若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得g(x₀)>f(x₀)成立，求t的取值范围．

Answer 1

解：(1)由已知得f ′(x)＝－≥0在[1，＋∞)上恒成立，即≥0在[1，＋∞)上恒成立，∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，∴sin θ·x－1≥0在[1，＋∞)上恒成立，只需sin θ·1－1≥0，即sin θ≥1，∴sin θ＝1，由θ∈(0，π)，知θ＝.

(2)∵t＝0，∴g(x)＝－－ln x，x∈(0，＋∞)，

∴g′(x)＝

令g′(x)＝0，则x＝2e－1∈(0，＋∞)，∴x，g′(x)和g(x)的变化情况如下表：

x	(0,2e－1)	2e－1	(2e－1，＋∞)
g′(x)	＋	0	－
g(x)	↗	极大值	↘