Question

【题目】已知函数 ，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e是自然对数的底数）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=2时， ，

，

此时，f（1）=﹣1，f'（1）=0，

故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣1．

（Ⅱ） 的定义域为（0，+∞）

…

令f'（x）=0得，x=a或x=1

①当0＜a≤1时，

对任意的1＜x＜e，f'（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增

f（x）最小=f（1）=1﹣a

②当1＜a＜e时，

x	（1，a）	a	（a，e）
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	↘	极小	↗

f（x）最小=f（a）=a﹣1﹣（a+1）lna

②当a≥e时，对任意的1＜x＜e，f'（x）＜0，

f（x）在[1，e]上单调递减

由①、②、③可知，

【解析】（Ⅰ）根据k切=f（1）求出切线斜率，再由yf（1）=k切（x1）得出切线方程；（Ⅱ）根据a的取值范围分类讨论.
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．