Question

【题目】已知函数f（x）=loga（3﹣ax）．
（1）当 时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；
（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[2，3]上为增函数，并且f（x）的最大值为1．如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设t=3﹣ax，

∵a＞0，且a≠1，则t=3﹣ax为R上的减函数，

∴ 时，t的最小值为 ，

又∵当 ，f（x）恒有意义，即t＞0对 恒成立，

∴tmin＞0，即 ，

∴a＜2，又a＞0，且a≠1，

∴实数a的取值范围为（0，1）∪（1，2）

（2）解：令t=3﹣ax，则y=logat，

∵a＞0时，函数t（x）为R上的减函数，y=logax在定义域上为增函数，

∴y=logat为减函数，

∴与函数f（x）在区间[2，3]上为增函数不符，

∴0＜a＜1，

∴当x∈[2，3]时，t（x）最小值为3﹣3a，即此时f（x）最大值为loga（3﹣3a），

由题意可知，f（x）的最大值为1，

∴loga（3﹣3a）=1，

∴ ，即 ，

∴ ，

故存在实数 ，使得函数f（x）在区间[2，3]上为增函数，并且f（x）的最大值为1．

【解析】（1）根据题意及对数函数的定义域可知，f（x）在上恒成立，即代数式3-ax的最小值大于零，从而结合a>0,a≠1求得a的取值范围；（2）本小题的解题思路是根据复合函数的单调性及函数f（x）在区间[2，3]上为增函数确定a的取值范围，再结合f（x）的最大值为1求得a的值.特别需要注意的是解对数函数的相关题目时必须考虑自变量要在函数定义域内.
【考点精析】掌握复合函数单调性的判断方法和对数函数的定义域是解答本题的根本，需要知道复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”；对数函数的定义域范围:（0，+∞）．