Question

【题目】已知点F为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（3，m）在抛物线E上，且|AF|=4．

（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

Answer 1

【答案】
（1）解：由抛物线定义可得：|AF|=3+ =4，解得p=2．

∴抛物线E的方程为y2=4x；

（2）证明：∵点A（3，m）在抛物线E上，

∴m2=4×3，解得m=±2 ，不妨取A（3，2 ），F（1，0），

∴直线AF的方程：y= （x﹣1），

联立抛物线，化为3x2﹣10x+3=0，解得x=3或 ，B（ ，﹣ ）．

又G（﹣1，0），∴kGA= ．kGB=﹣ ，

∴kGA+kGB=0，

∴∠AGF=∠BGF，∴x轴平分∠AGB，

因此点F到直线GA，GB的距离相等，

∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

【解析】（1）由抛物线定义可得：|AF|=3+ =4，解得p．即可得出抛物线E的方程．（2）由点A（3，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A（3，2 ），F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为3x2﹣10x+3=0，解得B（ ，﹣ ）．又G（﹣1，0），计算kGA ， kGB ， 可得kGA+kGB=0，∠AGF=∠BGF，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．