Question

【题目】已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当 时，求直线CD的方程；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）2+（m﹣2）2=4，

解之得： ，

故所求点P的坐标为P（0，0）或

（2）解：设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），易知k存在，

由题知圆心M到直线CD的距离为 ，所以 ，

解得，k=﹣1或 ，故所求直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0

（3）证明：设P（2m，m），MP的中点 ，

因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，

故其方程为：

化简得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是关于m的恒等式，

故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0，

解得 或

所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（ ， ）

【解析】（1）设P（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点P的坐标．（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），由圆心M到直线CD的距离求得k，则直线方程可得．（3）设P（2m，m），MP的中点 ，因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标．