Question

若函数f（x）=lnx，若对所有的x∈[e，+∞）都有xf（x）≥ax-a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：方法一、由题意得转化为：x∈[e，+∞）都有xlnx≥ax-a成立，分离出a后构造函数h（x）=

xlnx

x-1

，利用导数求出此函数在[e，+∞）上的最小值；
方法二、由xlnx≥ax-a构造函数h（x）=xlnx-ax+a，利用导数求出h（x）在[e，+∞）上的最小值，需要对a进行分类讨论．

解答： 解法一、由题意得，x∈[e，+∞）都有xlnx≥ax-a成立，即a≤

xlnx

x-1

，
令h（x）=

xlnx

x-1

，x∈[e，+∞），
则h′（x）=

(xlnx)′(x-1)-xlnx

(x-1)2

=

x-lnx-1

(x-1)2

，
∵当x≥e时，（x-lnx-1）′=1-

1

x

＞0，
∴x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0，即h′（x）＞0，
则h（x）在[e，+∞）上递增，故h（x）_min=h（e）=

e

e-1

，
∴a≤

e

e-1

；
解法二、由xlnx≥ax-a得，xlnx-ax+a≥0，
令h（x）=xlnx-ax+a，则当在[e，+∞）上时，h（x）_min≥0，
则h′（x）=lnx+1-a，由h′（x）=0得x=e^a-1，
当0＜x＜e^a-1时，h′（x）＜0；当x＞e^a-1时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，e^a-1）上单调递减，在（e^a-1，+∞）上单调递增，
①当a≤2时，e^a-1≤e
∴h（x）在（e，+∞）上单调递增，
∴h（x）_min=h（e）=e-ae+a≥0，即a≤

e

e-1

，
②当a＞2时，h（e）≥0，即e-ae+a≥0，得e+a≥ae，
若2＜a＜e，则e+a＜2e＜ae；若a≥e，则e+a≤2a＜ae，
∴a＞2不成立，
综上所述a≤

e

e-1

．

点评：本题考查了导数与函数的单调性关系，以及恒成立问题转化为求单调性和最值等综合应用，考查了分类讨论思想、转化思想和分离常数方法．