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    设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2
    F1F2
    +
    F2Q
    =
    0
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的离心率；
    （Ⅱ）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线x-
    		3
    y-3=0相切，求椭圆C的方程；
    （Ⅲ）过F2的直线l与（Ⅱ）中椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程
    专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
    分析：（Ⅰ）利用A（0，b），F1为QF2的中点．设F1（-c，0），F2（c，0），则Q（-3c，0），
    AQ
    =(-3c，-b)    通过
    AQ
    ⊥
    AF2
    ，列出c的方程，求出c，即可得到离心率．
    （Ⅱ）利用Rt△QAF2外接圆与直线相切，推出d=r，求出c=1，然后纠错a，b，即可求椭圆C的方程．
    （Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2），利用设△F1MN的内切圆的半径为R，得到△F1MN的周长为4a=8，表示出△F1MN内切圆的面积表达式，说明R最大，S△F1MN也最大．可设直线l的方程为x=my+1，与椭圆联立，通过韦达定理
    化简S△F1MN=
    12
    		m2+1
    3m2+4
    ，利用基本不等式求出最值即可．
    解答： 解：（Ⅰ）由题A（0，b），F1为QF2的中点．
    设F1（-c，0），F2（c，0），则Q（-3c，0）
    AQ
    =(-3c，-b)    ，
    AF2
    =(c，-b)
    由题
    AQ
    ⊥
    AF2
    ，即
    AQ
    •
    AF2
    =-3c2+b2=0    ，∴-3c2+（a2-c2）=0即a2=4c2∴e=
    c
    a
    =
    1
    2

    （Ⅱ）由题Rt△QAF2外接圆圆心为斜边QF2的中点F1（-c，0），半径r=2c，∵由题Rt△QAF2外接圆与直线x-
    		3
    y-3=0    相切∴d=r，即
    |-c-3|
    2
    =2c    ，即c+3=4c∴c=1，a=2c=2，b=
    		3
    故所求的椭圆C的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    （Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题y1，y2异号．
    设△F1MN的内切圆的半径为R，则△F1MN的周长为4a=8，S△F1MN=
    1
    2
    (|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R    ，
    因此要使△F1MN内切圆的面积最大，只需R最大，此时S△F1MN也最大．S△F1MN=
    1
    2
    |F1F2|•|y1-y2|=|y1-y2|    ，
     由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
    由  
    x=my+1
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    得（3m2+4）y2+6my-9=0，
    由韦达定理得y1+y2=
    -6m
    3m2+4
    ，y1y2=
    -9
    3m2+4
    ，（△＞0⇒m∈R）S△F1MN=|y1-y2|=
    		(y1+y2)2-4y1y2
    =
    12
    		m2+1
    3m2+4

    令t=
    		m2+1
    ，则t≥1S△F1MN=
    12t
    3t2+1
    =
    12
    3t+
    1
    t
    （t≥1），
    当t=1时S△F1MN=4R有最大值3．此时，m=0，Rmax=
    3
    4

    故△F1MN的内切圆的面积的最大值为
    9π
    16
    ，此时直线l的方程为x=1
    点评：本题考查椭圆的基本性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
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    1，x≥0
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    x，x＞2
    -x，x＜2
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    （2）画出函数y=f（x）的大致图象；
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    π
    3
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    		3
    3
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    5π
    6
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    3
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    ．

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    1
    2
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    1
    2
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    x-4
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    A、-
    25
    4
    ＜a＜-4
    B、a＜-
    25
    4
    C、a＞-
    25
    4
    D、-
    25
    4
    ＜a＜-5

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