Question

如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC于H，求证：H是△ABC的垂心，△ABC为锐角三角形．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：证明题

分析：（1），由三条侧棱PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，进而得到PA⊥BC，由PH⊥平面ABC于H，BC?面ABC，可得PH⊥BC，故BC⊥平面APE，从而有AE?面APE，即可得∴BC⊥AE；同理可以证明才CH⊥AB，又BH⊥AC．即可证明H是△ABC的垂心．  
（2），可以通过余弦定理解决．

解答： 证明：（1）连接AH并延长交BC于一点E，连接PH，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC?面PBC，∴BC⊥PA，
∵PH⊥平面ABC于H，BC?面ABC，∴PH⊥BC，∴BC⊥平面APE，∵AE?面APE，
∴BC⊥AE；
同理可以证明才CH⊥AB，又BH⊥AC．
∴H是△ABC的垂心．  
（2）设PA=a；PB=b；PC=c，则AB²=a²+b²，同理BC²=c²+b²，Ac²=a²+c²，在三角形ABC中，由余弦定理得：cosA=

AB2+AC2-BC2

2×AB×AC

=

a2+b2+a2+c2-c2-b2

2 a2+b2 a2+c2

=

a2

a2+b2 a2+c2

＞0，同理可证cosB＞0，cosC＞0，所以，△ABC是锐角三角形．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明法：利用判定定理证明；以及解三角形的有关理论，第二问在立体几何中考查平面几何问题，要注意在空间的某个平面内，平面几何的有关定理、公式等结论仍然成立，属于基本知识的考查．