Question

设函数f（x）=log 

1

2

1-ax

x-1

 为奇函数，a为常数．
（1）求a的值，并用函数的单调性定义证明f（x）在区间（1，+∞） 内单调递增；
（3）若对于区间[3，4]上的每一个的x值，不等式f（x）≥（

1

2

）^x+m恒成立，求实数m最大值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得log

1

2

1+ax

-1-x

=-log 

1

2

1-ax

x-1

，从而求a，再令（x）=1+

2

x-1

，利用定义法证明其单调性，再由复合函数的单调性说明f（x）的单调性；
（3）设g（x）=log

1

2

(1+

2

x-1

)-（

1

2

）^x，将恒成立问题化为最值问题．

解答： 解：（1）∵f（-x）=-f（x），
∴log

1

2

1+ax

-1-x

=-log 

1

2

1-ax

x-1

，
∴（1+ax）（1-ax）+（x+1）（x-1）=0，
解得，a=-1；
则f（x）=log 

1

2

1-ax

x-1

=log

1

2

(1+

2

x-1

)（x＞1），
记u（x）=1+

2

x-1

，
任取1＜x₁＜x₂，
则u（x₁）-u（x₂）=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
∴u（x）=1+

2

x-1

在（1，+∞）上是减函数，
又∵y=log

1

2

x在其定义域上是减函数，
∴f（x）在区间（1，+∞） 内单调递增．
（3）设g（x）=log

1

2

(1+

2

x-1

)-（

1

2

）^x．
则g（x）在[3，4]上为增函数．
又∵g（x）≥m对x∈[3，4]恒成立，
∴m≤g（3）=-

9

8

，
故实数m的最大值为-

9

8

．

点评：本题综合考查了函数的性质及恒成立问题，属于难题．