Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AC的中点，∠ABC=90°，AA1=AB=2，BC=3．

（1）求证：AB1∥平面BC1D；
（2）求三棱锥D﹣BC1C的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设B1C与BC1相交于点O，连接OD．

∵四边形BCC1B1是平行四边形

∴点O为B1C的中点，又D为AC的中点

∴OD∥AB1．

∵OD平面BC1D，AB1平面BC1D

∴AB1∥平面BC1D

（2）解：在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱CC1⊥平面ABC

故CC1为三棱锥C1﹣BCD的高，CC1=A1A=2．

∵D为AC的中点，∠ABC=90°

∴S△BCD= S△ABC= ×（ BC×AB）= ．

∴VD﹣BC1C=VC1﹣BCD= S△BCDCC1= × ×2=1．

【解析】（1）设B1C与BC1相交于点O，连接OD，则由中位线定理可知OD∥AB1 ， 故而AB1∥平面BC1D；（2）把△BCD看做棱锥的底面，则棱锥的高为CC1 ， 代入体积公式计算即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．