Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形．AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求证：BE∥平面APD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）取PD的中点F，连结EF，AF，因为E为PC中点， ∴EF∥CD，且 ，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
∴EF∥AB，EF=AB，
四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，BE平面PAD，AF平面PAD，
∴BE∥平面PAD
（Ⅱ）平面PCD⊥平面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD
在直角梯形ABCD中， ，
∴∠CBD=90°，即DB⊥BC．
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
又PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．

【解析】
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对直线与平面垂直的判定的理解，了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．