Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥BC，AB=BC=1，PA=AD=2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）求直线CE与平面PAD所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：取PA的中点为F，连接EF、BF，

∵E为PD中点，

∴EF∥AD，且 ，

又∵BC∥AD， ，

所以：BC EF，

因此：四边形BCEF为平行四边形，

所以：CE∥BF，

又∵CE平面PAB，BF平面PAB，

所以：CE∥平面PAB．

得证．

（2）过E点作AP平行线交AD于M，连接CM、EM．

∵PA⊥平面ABCD，E为PD中点，

∴M为AD的中心，则有BC AM，所以四边形ABCM是平行四边形，AB∥CM，CM⊥AD，

CM平面ABCD，所以PA⊥CM，

又∵AM∩PA=A，CM⊥平面PAB

∴CM⊥EM，

那么∠MCE就是直线CE与平面PAD所成角．

又∵PA=2，E、M分别为PD、AD的中点，

∴CM=EM=1，所以∠ECM=45°，

故直线CE与平面PAD所成角为45°．

【解析】（Ⅰ）要证明CE∥平面PAB；只需要证明CE与平面PAB内的一条直线平行即可．由题意，E为PD中点．取AP中点F，连接EF，BF，证明CE∥BF即可．（Ⅱ）过E点作AP平行线交AD于M，连接CM，证明CM垂直平面ADP，那么∠MCE就是直线CE与平面PAD所成角．（作（找），证，算，三步骤都不能少）
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．