Question

已知函数f（x）=（1-x）e^x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x≥0时，g（x）=e^x+λ1n（1-x）-1≤0，求λ的取值范围；
（Ⅲ）证明：

1

en+1

+

1

en+2

+

1

en+3

+…+

1

e2n

＜n+ln2（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）中求出函数的导数，讨论x的范围，找出单调区间求出最值；（Ⅱ）求出函数g（x）的导数，通过讨论g（x）的增减性得出λ的取值范围；（Ⅲ）将x的不同的值代入求出即可．

解答： 解；（Ⅰ）f′（x）=-xe^x，
x=0时，f′（x）=0，
x＜0时，f′（x）＞0，
x＞0时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减；
∴f（x）_max=f（0）=0．
（Ⅱ）g′（x）=e^x-

λ

1-x

=

(1-x)ex-λ

1-x

，
令h（x）=（1-x）e^x-λ，
∴h′（x）=-xe^x，
x∈[0，1）时，h′（x）≤0，h（x）单调递减，
若在[0，1）内存在使h（x）=（1-x）e^x-λ＞0的区间（0，x₀），
则g（x）在（0，x₀）上是增函数，g（x）＞g（0）=0，与已知不符；
故x∈[0，1）时，h（x）≤0，g（x）在[0，1）上是减函数，g（x）≤g（0）=0成立．
∴h（x）的最大值h（0）≤0，即（1-0）e⁰-λ≤0，∴λ≥1，
∴λ的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅲ）：在（Ⅱ）中令λ=1，
∴x＞0时，e^x＜1-ln（1-x），
将x=

1

n+1

，

1

n+2

，…，

1

2n

代入上述不等式，再将得到的n个不等式相加，
得：

1

en+1

+

1

en+2

+

1

en+3

+…+

1

e2n

＜n+ln2．

点评：本题考察了导数的应用，函数的单调性，函数的最值，渗透了分类讨论思想，有一定的难度．