Question

设函数f（x）=|2x-1|，x∈R．
（1）若不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，求a的值；
（2）若g（x）=

1

f(x)+f(x+1)+m

的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数的定义域及其求法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由f（x）≤a，得

1-a

2

≤x≤

1+a

2

．再根据不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，可得

1-a 2 =0 1+a 2 =1

，由此解得a的值．
（2）根据g（x）=

1

|2x-1|+|2x+1|+m

的定义域为R，可得|2x-1|+|2x+1|+m≠0恒成立．求得|2x-1|+|2x+1|的最小值为2，可得m的范围．

解答： 解：（1）由f（x）≤a，得

1-a

2

≤x≤

1+a

2

．
因为不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，所以

1-a 2 =0 1+a 2 =1

，解得a=1．
（2）g（x）=

1

f(x)+f(x+1)+m

=

1

|2x-1|+|2x+1|+m

的定义域为R，可得|2x-1|+|2x+1|+m≠0恒成立．
∵|2x-1|+|2x+1|≥|（2x-1）-（2x+1）|=2，∴m＞-2．

点评：本题主要考查求函数的定义域，绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，属于中档题．