Question

11．已知命题p：方程x²+mx+1=0有两个不相等的实根，命题q：关于x的不等式x²-2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p正确，则△＞0，解得m范围．若命题q正确，则△＜0，解得m范围．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q必然一真一假，即可得出．

解答 解：命题p：方程x²+mx+1=0有两个不相等的实根，∴△=m²-4＞0，解得m＞2或m＜-2．
命题q：关于x的不等式x²-2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，∴△=4（m+1）²-4m（m+1）＜0，解得m＜-1．
若“p∨q”为真，“p∧q”为假，
则p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞2或m＜-2}\\{m≥-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤m≤2}\\{m＜-1}\end{array}\right.$，
解得m＞2或-2≤m＜-1．
∴实数m的取值范围是m＞2或-2≤m＜-1．

点评 本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．