Question

6．对于正切函数y=tanx，请完成以下问题．
（1）写出正切函数的定义域、值域和最小正周期，并判断正切函数的奇偶性．
（2）写出正切函数的单调区间，并证明其单调性．

Answer 1

分析 （1）根据正切函数的性质即可得到结论．
（2）根据正切函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）正切函数的定义域为{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}、值域为（-∞，+∞），最小正周期为π，
∵y=f（x）=tanx=$\frac{sinx}{cosx}$，
∴f（-x）=tan（-x）=$\frac{sin（-x）}{cos（-x）}$=$\frac{-sinx}{cosx}$=-tanx，
则正切函数在定义域为为奇函数．
（2）正切函数的单调递增区间为（kπ-$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{π}{2}$），
当k=0时，-$\frac{π}{2}$＜x＜$\frac{π}{2}$，
设-$\frac{π}{2}$＜x₁＜x₂＜$\frac{π}{2}$，
则tanx₁-tanx₂=$\frac{sin{x}_{1}}{cos{x}_{1}}$-$\frac{sin{x}_{2}}{cos{x}_{2}}$=$\frac{sin{x}_{1}cos{x}_{2}-cos{x}_{1}sin{x}_{2}}{cos{x}_{1}cos{x}_{2}}$=$\frac{sin（{x}_{1}-{x}_{2}）}{cos{x}_{1}cos{x}_{2}}$，
∵-$\frac{π}{2}$＜x₁＜x₂＜$\frac{π}{2}$，
∴cosx₁＞0，cosx₂＞0，
∴-$\frac{π}{2}$＜-x₂＜$\frac{π}{2}$，-π＜x₁-x₂＜0，
则sin（x₁-x₂）＜0，
即tanx₁-tanx₂＜0，
则tanx₁＜tanx₂，
∴函数y=tanx在-$\frac{π}{2}$＜x＜$\frac{π}{2}$上为增函数，
即函数的单调递增区间为（kπ-$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z

点评 本题主要考查正切函数的图象和性质，比较基础．