Question

（本小题满分14分）已知二次函数（为常数，）的一个零点是.函数，设函数.

（1）求的值，当时，求函数的单调增区间；

（2）当时，求函数在区间上的最小值；

（3）记函数图象为曲线C，设点是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作轴的垂线交曲线C于点N.判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由.

Answer 1

（1）,;

（2）;

（3）曲线在点处的切线不平行于直线

【解析】

试题分析：（1）根据,可得.所以.求导,讨论导数的符号,导数大于0得增区间,导数小于0得减区间. （2）讨论两根的大小,在讨论的符号得其单调区间,根据单调区间可得其最值.（3）设，则点的横坐标为.由斜率公式可得直线斜率.根据导数的几何意义可知在点处的切线的斜率.假设曲线在点处的切线平行于直线，则.即，所以 ，不妨设，，则，令，判断等于0是否有解.

试题解析：（1）由是函数的零点可求得.

，

因为，，所以，解，得，

所以的单调增区间为 4分

（2）当时，由，得，，

①当，即时，在上是减函数，

所以在上的最小值为.

②当，即时，

在上是减函数，在上是增函数，

所以的最小值为.

③当，即时，在上是增函数，

所以的最小值为.

综上，函数在上的最小值， 8分

（3）设，则点的横坐标为，

直线的斜率

，

曲线在点处的切线斜率

，

假设曲线在点处的切线平行于直线，则，

即，

所以 ，不妨设，，则，

令，，

所以在上是增函数，又，所以，即不成立，

所以曲线在点处的切线不平行于直线. 14分

考点：用导数研究函数的性质.