Question

已知数列{a_n}的首项a₁，a₃=

8

9

，a_n+1=

2an

an+1

（n=1，2，…）．
（1）求a₁；
（2）证明：数列{

1

an

-1}是等比数列；
（3）求数列通项公式a_n．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，代入计算，可得a₁；
（2）利用数列递推式，取倒数，两边再减去1，即可证得数列{

1

an

-1}是等比数列；
（3）利用等比数列的通项公式，可求数列通项公式a_n．

解答：（1）解：∵a₃=

8

9

，a_n+1=

2an

an+1

，∴a₃=

2a2

a2+1

，∴a₂=

4

5

∵a₂=

2a1

a1+1

，∴a₁=

2

3

；
（2）证明：∵a_n+1=

2an

an+1

，∴

1

an+1

=

1

2an

+

1

2

∴

1

an+1

-1=

1

2

（

1

an

-1）
∵a₁=

2

3

，∴

1

a1

-1=

1

2

∴数列{

1

an

-1}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列；
（3）解：由（2）知，

1

an

-1=(

1

2

)n
∴

1

an

=(

1

2

)n+1，∴a_n=

2n

2n+1

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，属于中档题．