【题目】如图，已知M(x0，y0)是椭圆C：
＋
＝1上的任一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.
(1)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；
(2)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
【答案】见解析
【解析】
解：(1)证明：因为直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x与圆M相切，所以
＝
，
化简得：(x－2)k－2x0y0k1＋y－2＝0，
同理：(x－2)k－2x0y0k2＋y－2＝0，
所以k1，k2是方程(x－2)k2－2x0y0k＋y－2＝0的两个不相等的实数根，
所以k1·k2＝
.
因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以
＋
＝1，即y＝3－
x，
所以k1k2＝
＝－为定值．
(2)|OP|2＋|OQ|2是定值，定值为9.
理由如下：
方法一：①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立
解得
所以x＋y＝
，同理得x＋y＝
，
又因为k1k2＝－，
所以|OP|2＋|OQ|2＝x＋y＋x＋y
＝＋
＝＋
＝
＝9.
②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有|OP|2＋|OQ|2＝9，
综上：|OP|2＋|OQ|2＝9为定值．
方法二：①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为k1k2＝－，所以yy＝
xx，
因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆C上，
所以
即
所以
＝xx，整理得x＋x＝6，
所以y＋y＝＋＝3，所以|OP|2＋|OQ|2＝9.
②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有|OP|2＋|OQ|2＝9，
综上：|OP|2＋|OQ|2＝9为定值．
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【题目】在棱长均相等的正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：
①AC1⊥BC；
②AF＝FC1；
③平面DAC1⊥平面ACC1A1，其中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
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【题目】已知圆
： 
过椭圆
： 
的短轴端点， 
分别是圆
与椭圆
上任意两点，且线段
长度的最大值为3.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
作圆
的一条切线交椭圆
于
两点，求
的面积的最大值.
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【题目】已知椭圆C：
＋
＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆C经过点P
.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且
＝
＋
，求点Q的轨迹方程．
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【题目】已知函数
.
（1）求函数
的图象在
处的切线方程；
（2）若函数
在
上有两个不同的零点，求实数
的取值范围；
（3）是否存在实数
，使得对任意的
，都有函数
的图象在
的图象的下方？若存在，请求出最大整数
的值；若不存在，请说理由.
（参考数据： 
， 
）.
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【题目】已知椭圆
（
）的离心率为
，短轴的一个端点为
.过椭圆左顶点
的直线
与椭圆的另一交点为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若
与直线
交于点
，求
的值；
（3）若
，求直线
的倾斜角.
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【题目】如图，在矩形
中，已知
，点
、
分别在
、
上，且
，将四边形
沿
折起，使点
在平面
上的射影
在直线
上．
（I）求证： 
；
（II）求点
到平面
的距离；
（III）求直线
与平面
所成的正弦值．
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