Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+$\frac{1}{6}$的图象与x轴有且只有一个交点，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． [0，1）
• C． （-∞，0]
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 求导f′（x）=x²-ax=x（x-a）；从而分类讨论以确定函数的单调性，从而转化为极值问题求解即可．

解答 解：∵f′（x）=x²-ax=x（x-a），
令f′（x）=0，
解得x=0，或x=a，
当a=0时，f′（x）≥0，
∴函数f（x）在R上是增函数，
∴f（x）存在唯一的零点；
当a＜0时，f（x）在（-∞，a），（0，+∞）上是增函数，在（a，0）上是减函数；
而且f（0）=$\frac{1}{6}$，f（x）存在唯一的零点；
当a＞0时，f（x）在（-∞，0），（a，+∞）上是增函数，在（0，a）上是减函数；
而且f（0）=$\frac{1}{6}$，
故只需使f（a）=$\frac{1}{3}$a³-$\frac{1}{2}$a•a²+$\frac{1}{6}$＞0，即a³＜1，
解得，0＜a＜1；
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，1），
故选：A．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题．